Appliquer le théorème de Pythagore

I. Rappels de cours

Théorème de Pythagore

 Si un triangle $ABC$ est rectangle en $A$, alors :

$BC^2=AB^2+AC^2$

Autre formulation : dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés de l’angle droit.

Exemple :

Soit un triangle $ABC$ rectangle en $A$ et tel que $AB=15~cm$ et $BC=18,75~cm$. On veut calculer la mesure exacte de la distance $AC$ :

• $[AB]$ et $[AC]$ sont les côtés de l’angle droit, $[BC]$ est l’hypoténuse.

• Nous pouvons appliquer le théorème de Pythagore et écrire :
  
  $BC^2=AB^2+AC^2$.
  
  Alors $AC^2=BC^2-AB^2$
  
  ou encore $AC^2=18,75^2-15^2$.
  
  Donc $AC^2=126,5625$,
  
  soit $AC=11,25~cm$.

II. Méthodes

1) Appliquer le théorème de Pythagore dans l’espace

L’unité de longueur est le centimètre.

Soit un parallélépipède rectangle $ABCDEFGH$. La base $ABCD$ a pour longueur $AB=12$ et pour largeur $AD=8$.

La hauteur mesure $AE=9$.

a. Calculer la mesure exacte de la distance $BD$.

b. Calculer la mesure exacte du segment $[BH]$ en admettant que le triangle $HDB$ soit rectangle en $D$.

c. Un crayon de $16,5~cm$ de longueur pourrait-il rentrer dans une boîte de mêmes dimensions que ce parallélépipède ? Justifier.

Conseils

Repère bien les côtés de l’angle droit et l’hypoténuse des triangles rectangles ABD et BDH.

Solution

a. Appliquons le théorème de Pythagore au triangle ABD rectangle en A :

$BD^2=AB^2+AD^2=12^2+8^2$

ou encore $BD^2=208$,

donc $BD=4 \sqrt{13} \approx 14,4$.

b. Appliquons le théorème de Pythagore au triangle $BDH$ rectangle en $D$ :

$BH^2=BD^2+DH^2=208+9^2$

ou encore $BH^2=289$,

donc $BH=17$.

c. Puisque 14,4 < 16,5 < 17, pour rentrer dans la boîte, le crayon doit être disposé selon une diagonale ($[BH]$ par exemple).

2) Résoudre un problème à l’aide du théorème de Pythagore

Deux chemins rectilignes $D_1$ et $D_2$ se coupent perpendiculairement en $O$. Deux très bons marcheurs $P_1$ et $P_2$ partent simultanément du point $O$ et prennent chacun un des deux chemins à vitesse constante : $v_1=2~\text{m/s}$ pour $P_1$ et $v_2=2,5~\text{m/s}$ pour $P_2$.

Calculer la distance séparant les deux marcheurs $600$ secondes après leur départ. En donner une valeur approchée au mètre près.

Conseils

Calcule les distances parcourues par chacun des marcheurs en $600$ secondes, puis applique le théorème de Pythagore au triangle obtenu. 

Solution

Au bout de $600$ secondes, $P_1$ sera en $A$ avec $OA=2 \times 600=1~200~m$ et $P_2$ sera en $B$ avec $OB=2,5 \times 600=1~500~m$.

Le triangle $OAB$ est rectangle en $O$.

Le théorème de Pythagore permet d’écrire :

$AB^2=OA^2+OB^2$.

$AB^2=1~200^2+1~500^2=3~690~000$,

soit $AB=\sqrt{3~690~000}$.

Nous obtenons $AB=1~921~m$, valeur approchée au mètre près.